本記事では、中高生の生徒さんが受ける定期考査や校内実力テストに焦点を当て、大学入試の良問を学年別にアレンジした問題案と解答例をポイント付きで解説します。
一見難しそうに見える大学入試問題も、中学生でも解けるものに変わります。是非チェックしてみて下さい！
第1回は「東京大学 2003年 数学」の問題です！早速ですが、元となる問題をご覧下さい。
問：円周率が3.05より大きいことを証明せよ。
なんともシンプルな問題です。ご覧になったことのある方も多いのではないでしょうか。
こちらの問題の核となるのは「円周率とはそもそも何か」ということであり、東大らしい、物事の根本の理解を問う問題になっています。まずは考えられる解法を見ていきましょう。
最もベーシックな解答は、「(円周率)＝(円の直径と円周の比率)」という点に注目し、円に内接する多角形の外周は円周より短いことを利用するものです。一旦、解答そのものを見ていきましょう。
0からこの解答を生み出すのはなかなか難しいように感じます。正多角形を円に内接させる、というアイデアが思い浮かんだとしても、その後の不等式評価も論理展開を誤らないよう慎重に進める必要があり、使用している知識自体は余弦定理だけであるものの、全体としてかなり難易度の高い問題となっています。
しかし、この1問だけで「数学用語の定義を見直し、図形的観点から示すべき不等式を立てる」「正確な不等式評価を行う」という力を養うきっかけを得ることができ、これは素晴らしい良問だと言えます。
それでは、この問題の趣旨を失わないようにしながら、学年に応じた出題案をご紹介いたします！
下記のPDFに「中学生向け」「高校1年生〜2年生向け」「高校3年生向け」の3パターンの出題案を掲載しておりますので、ぜひダウンロードしてご活用ください。
今回は東大2003年の問題をご紹介しましたが、いかがだったでしょうか。今後も、定期考査や実力考査に使うことのできる大学入試の良問を、解説・出題例付きでご紹介していきますので、是非ご確認ください！
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